Условие сходимости метода простых итераций


Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций схема метода, условия сходимости и оценка погрешности для решения системы, страница 2 Изложить теоретические основы метода простых итераций схему метода, условия сходимости и оценку погрешности для решения системы 1. Указать типы матриц Aдля которых условия сходимости можно проверить. Обычная запись линейной алгебраической системы такова: 1где Матрица А невырожденная. Для применения метода итерации система 1 должна быть приведена к виду 2. Итерационные методы в случае сходимости позволяют построить последовательностьтакую что пригде x - решение системы. Эти методы, как правило, имеют простую программу, их обычно используют, когда имеется система большого порядка и точные методы работают плохо. При этом, конечно, нужно позаботиться, чтобы метод сходился. Как правило, итерационные методы работают значительно дольше точных. Большинство итерационных методов укладывается в следующую схему: последовательность вектор-столбцов строится по формуле:где - начальное приближение. Методы отличаются способом выбора матриц. Итерационные методы можно разделить на несколько групп: 1 стационарные, для которых ; 2 циклические, в которых матрица повторяется через i шагов; 3 нестационарные, где различные на каждом шаге. Из стационарных методов часто используется метод условие сходимости метода простых итераций итерации, в котором система записывается в виде и полагают:где - число. Необходимым и достаточным условием сходимости является условие для всех собственных чисел матрицы. Существуют более простые достаточные условия сходимости. Например: 1; 2; 3 ; Если метод простой итерации не сходится для условие сходимости метода простых итерацийто ее можно несколько видоизменить, умножив на обе части системы:. Матрицу выбирают так, чтобы матрица была близка к единичной. Такое предварительное домножение равносильно применению стационарного метода с матрицей к условие сходимости метода простых итераций системе. Если матрица положительно определенная, то можно строить так: вычислим. Известно, что собственные числа матрицы не больше любой ее нормы, поэтому. Положимтогда и можно доказать, что. Это обеспечивает сходимость метода. Отметим два достоинства метода итерации. Простота реализации на ЭВМ: вычисление каждого приближения выполняется по одной и той же схеме. Из теормы о необходимом и достаточном условии сходимости следует свойство условие сходимости метода простых итераций метода. Если некоторое приближение найдется неправильно, то можно продолжать вычисления и получить хорошее приближение к решению, если все дальнейшие условие сходимости метода простых итераций вычисляются правильно. Действительно, можно считать новым начальным приближением. При фактических вычислениях вопрос о сходимости метода итерации осложняется тем, что из-за погрешностей округления мы получаем вместо последовательности другую последовательность. Если условие сходимости метода простых итераций собственные значения матрицы лежат внутри единичного круга, то может показаться, что не возникает никаких проблем относительно поведения метода в реальных условиях ограниченности порядков чисел в машине и присутствия округлений. В обоснование этого впечатления иногда приводят следующий довод — возмущения приближений вследствие округлений равносильны возмущениям начальных условий итерационного процесса. Однако при решении некоторых систем возникала следующая ситуация. Все собственные условие сходимости метода простых итераций матрицы лежали в кругеа итерационный процесс останавливался после некоторого числа итераций по причине переполнения порядков чисел в ЭВМ. В других случаях такого переполнения не происходило, но векторыполучаемые при вычислениях, не имели тенденции к установлению. Последний случай наиболее опасен. Суммарная вычислительная погрешность может оказаться большой не только из-за большой величины отдельных слагаемых, но из-за того, что их много. Погрешность порядка является неустранимой и возмущение приближений, создаваемое в ходе итераций, сравнимо с неустранимой погрешностью. С целью уменьшения числа итераций при переходе к системе стараются получить систему с возможно меньшим значением ; поэтому можно привести довольно мало примеров решения задач, гденапример, больше 0. Задание 3 Составить и отладить программу, реализующую указанный в задании 2 метод с требуемой точностью.

Смотри также